O jogo, portanto, requer a presença de três elementos: consideração (uma quantia apostada), risco (chance) e um prêmio.

[1] O resultado ♠ da aposta geralmente é imediato, como um único lançamento de dados, um giro de uma roleta ou um cavalo cruzando ♠ a linha de chegada, mas prazos mais longos também são comuns, permitindo apostas no resultado de uma futura competição esportiva.

ou ♠ mesmo uma temporada esportiva inteira.

Os jogos de apostas são importante atividade comercial internacional, com o mercado legal de jogos de ♠ azar totalizando cerca de 335 bilhões de dólares em 2009.[2]

Em alguns países, a atividade de jogo a dinheiro é legal.

Em particular, um martingale é uma sequência de variáveis aleatórias (isto é, um processo estocástico) para o qual, a qualquer 🎅 tempo específico na sequência observada, a esperança do próximo valor na sequência é igual ao valor presentemente observado, mesmo dado 🎅 o conhecimento de todos os valores anteriormente observados.[1]

O movimento browniano parado é um exemplo de martingale.

Ele pode modelar um jogo 🎅 de cara ou coroa com a possibilidade de falência.

Em contraste, em um processo que não é um martingale, o valor 🎅 esperado do processo em um tempo pode ainda ser igual ao valor esperado do processo no tempo seguinte.

Entretanto, o conhecimento 🎅 de eventos anteriores (por exemplo, todas as cartas anteriormente retiradas de um baralho) pode ajudar a reduzir a incerteza sobre 🎅 os eventos futuros.